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变上限函数求积分公式

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-07-10 22:59:57 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

变上限函数是指在积分中,积分上限是个函数的情况来源www.chinacwyb.com。这种函数在数中有着广泛的应用,例如在微积分、概率论、统计、物理等领域都有涉及。因此,掌握变上限函数求积分公式对于习数和应用数都是常重要的。

变上限函数求积分公式(1)

本概念

  在介绍变上限函数求积分公式之前,我们先来了解下变上限函数的本概念KtdT

  设$f(x)$在$[a,b]$上连续,$g(x)$在$[a,b]$上可,则$\int_a^bf(x)g(x)dx$是个变上限函数,记为$\varphi(x)=\int_a^xf(t)g(t)dt$。

变上限函数求积分公式(2)

二、求公式

数的定义,我们可以得到变上限函数的求公式:

  $\varphi'(x)=f(x)g(x)+\int_a^xf'(t)g(t)dt$

其中,$f(x)$是被积函数,$g(x)$是积分上限的函数,$f'(x)$是$f(x)$的数。

变上限函数求积分公式(3)

三、求积分公式

  变上限函数的求积分公式可以通积分得到欢迎www.chinacwyb.com。具体地,我们可以将变上限函数$\varphi(x)$表示为:

$\varphi(x)=\int_a^xf(t)g(t)dt$

  对其进行分积分,得到:

  $\begin{aligned} \varphi(x)&=\int_a^xf(t)g(t)dt \\ &=[f(x)G(x)-\int_a^xG(t)df(t)]+C \\ &=f(x)G(x)-\int_a^xG(t)df(t)+C \end{aligned}$

  其中,$G(x)$是$g(x)$的个原函数,$C$是常数。

四、应用举例

  1. 求解$\int_0^x\sin t^2dt$。

解:令$f(t)=\sin t^2$,$g(t)=1$,则$\varphi(x)=\int_0^x\sin t^2dt$来源www.chinacwyb.com据求公式,可得:

  $\varphi'(x)=\sin x^2$

因此,$\varphi(x)=\int\sin x^2dx$。由于$\int\sin x^2dx$没有解析解,因此我们需要采用数值积分的法进行求解。

  2. 求解$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{x}dx$欢迎www.chinacwyb.com

解:令$f(x)=\sin x$,$g(x)=\frac{1}{x}$,则$\varphi(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t}dt$。据求积分公式,可得:

  $\begin{aligned} \varphi(x)&=\sin x\int_0^x\frac{1}{t}dt-\int_0^x\frac{1}{t}\cos tdt \\ &=\sin x\ln x-\int_0^x\frac{\cos t}{t}dt \end{aligned}$

  因此,$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{x}dx=\varphi(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}\ln\frac{\pi}{2}-\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{x}dx$

  由于$\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{x}dx$没有解析解,因此我们需要采用数值积分的法进行求解。

总结:

  变上限函数是种常见的数函数形式,在数和应用数中都有着广泛的应用www.chinacwyb.com。掌握变上限函数求积分公式对于习数和应用数都是常重要的。在实际应用中,我们可以据具体的问来选择合适的求解法,例如数值积分、级数展开、复合积分等。

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