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三角函数的积化差公式

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-07-11 07:06:45 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

本文目录:

三角函数的积化差公式(1)

  三角函数的积化差公式是指两个三角函数的积化为它们的和或差的形式,它是三角函数中的一个重要公式,应用规.整.公.式.网。本文从以下几个方面介绍三角函数的积化差公式规整公式网

一、正弦和余弦的积化差公式

我们知道,正弦和余弦是基本的三角函数,它们的积常见的chinacwyb.com。那么,如何正弦和余弦的积化为和或差的形式呢?这就需要用到正弦和余弦的积化差公式:

  $$\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$$

  $$\cos a\sin b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$$

这两个公式可以互推导得chinacwyb.com。我们以第一个公式为例来证

  $$\begin{aligned}\sin a\cos b&=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\\2\sin a\cos b&=\sin(a+b)+\sin(a-b)\\2\sin a\cos b&=2\sin a\cos b+\cos a\sin b-\cos a\sin b+\sin a\cos b-\sin a\cos b\\2\sin a\cos b&=\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b+\sin a\cos b\\2\sin a\cos b&=2\sin a\cos b\end{aligned}$$

  由可见,这个公式是正确的规_整_公_式_网。这个公式在三角函数的求值中经常用到,例如:

  $$\begin{aligned}\sin 15^{\circ}\cos 75^{\circ}&=\dfrac{1}{2}[\sin(15^{\circ}+75^{\circ})+\sin(15^{\circ}-75^{\circ})]\\&=\dfrac{1}{2}[\sin90^{\circ}+\sin(-60^{\circ})]\\&=\dfrac{1}{2}+0.5\sin60^{\circ}\\&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$$

三角函数的积化差公式(2)

二、正切的积化差公式

  正切是三角函数中比较特殊的一个函数,它的定义是:

  $$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$

那么,如何正切的积化为和或差的形式呢?这就需要用到正切的积化差公式:

  $$\tan a\tan b=\dfrac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}=\dfrac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)+\sin(a-b)}$$

这个公式的证比较繁琐,可以正切的定义代入并化简得欢迎www.chinacwyb.com。这个公式在三角函数的求值中经常用到,例如:

$$\begin{aligned}\tan 15^{\circ}\tan 75^{\circ}&=\dfrac{\sin 15^{\circ}\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ}\cos 75^{\circ}}\\&=\dfrac{\cos(75^{\circ}-15^{\circ})-\cos(75^{\circ}+15^{\circ})}{\sin(75^{\circ}+15^{\circ})+\sin(75^{\circ}-15^{\circ})}\\&=\dfrac{\cos60^{\circ}-\cos90^{\circ}}{\sin90^{\circ}+\sin60^{\circ}}\\&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$$

三角函数的积化差公式(3)

三、正弦和正切的积化差公式

  正弦和正切的积是比较常见的,它的化差公式如下:

$$\sin a\tan b=\dfrac{\sin a}{\cos a}\cdot\dfrac{\sin b}{\cos b}=\dfrac{2\sin a\cos a\sin b}{2\cos^2 a\cos b}=\dfrac{\sin 2a}{\cos a+\cos(a+b)}$$

  这个公式的证比较繁琐,可以正切的定义代入并化简得规_整_公_式_网。这个公式在三角函数的求值中经常用到,例如:

  $$\begin{aligned}\sin 15^{\circ}\tan 30^{\circ}&=\dfrac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}\cdot\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 30^{\circ}\sin(30^{\circ}-15^{\circ})}{\cos 15^{\circ}\cos 30^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 15^{\circ}}{2\cos^2 15^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{4\cos^2 15^{\circ}}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{12}+\dfrac{1}{6}\end{aligned}$$

四、余弦和正切的积化差公式

余弦和正切的积是比较常见的,它的化差公式如下:

$$\cos a\tan b=\dfrac{\cos a}{\cos a}\cdot\dfrac{\sin b}{\cos b}=\dfrac{2\cos a\sin a\sin b}{2\cos^2 a\cos b}=\dfrac{\sin 2a}{\sin a+\sin(a+b)}$$

  这个公式的证可以正切的定义代入并化简得欢迎www.chinacwyb.com。这个公式在三角函数的求值中经常用到,例如:

  $$\begin{aligned}\cos 15^{\circ}\tan 30^{\circ}&=\dfrac{\cos 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}\cdot\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 30^{\circ}\cos(30^{\circ}-15^{\circ})}{\cos 15^{\circ}\cos 30^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 15^{\circ}}{2\cos^2 15^{\circ}}\\&=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{4\cos^2 15^{\circ}}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{12}-\dfrac{1}{6}\end{aligned}$$

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