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向量垂直定理公式推导

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-07-11 06:51:44 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

本文目录一览:

向量垂直定理公式推导(1)

引言

向量垂直定理是向量运算中非常重要的一条定理,它描述了两个向量相互垂直的条件规整公式网www.chinacwyb.com。在三维空间中,向量垂直定理被广泛应用于计算何、、工程等领域。本文将介绍向量垂直定理的公式推导过程。

向量的定义

  在数中,向量是一个具有大小和方向的量。通常用箭头表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向chinacwyb.com。向量可以用坐标表示,例如三维空间中的向量可以表示为:

$$

\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}

  $$

其中 $a_1, a_2, a_3$ 是向量 $\vec{a}$ 的三个分量。

向量的点积

  向量的点积是向量运算中的一种重要运算,它描述了两个向量之间的夹角。向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的点积可以表示为:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

  $$

  其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的第 $i$ 个分量。

向量垂直定理公式推导(2)

向量的长度

  向量的长度是向量运算中的另一种重要运算,它描述了向量的大小来源www.chinacwyb.com。向量 $\vec{a}$ 的长度可以表示为:

  $$

  |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

$$

向量垂直定理公式推导(3)

向量垂直定理

  向量垂直定理描述了两个向量相互垂直的条件。向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 相互垂直的条件是它们的点积为零,即:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

向量垂直定理公式推导

  现在我们来推导向量垂直定理的公式。

假设向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 相互垂直,那么它们的点积为零:

$$

  \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

  $$

将 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的坐标表示代入上式,到:

  $$

  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0

$$

  移项

$$

  a_1 b_1 = -a_2 b_2 - a_3 b_3

  $$

  两边同时平方

$$

a_1^2 b_1^2 = a_2^2 b_2^2 + 2a_2 a_3 b_2 b_3 + a_3^2 b_3^2

  $$

  将向量的长度代入上式,到:

$$

|\vec{a}|^2 b_1^2 = |\vec{b}|^2 (a_2^2 + a_3^2) + 2a_2 a_3 b_2 b_3

  $$

  移项

  $$

2a_2 a_3 b_2 b_3 = |\vec{a}|^2 b_1^2 - |\vec{b}|^2 (a_2^2 + a_3^2)

  $$

  由于 $a_2 a_3 b_2 b_3$ 是两个数的积,它们的积为零的条件是它们中少有一个数为零。因此,上式右边的两个因子中少有一个为零NUST。如果 $b_2$ 和 $b_3$ 中少有一个为零,那么向量 $\vec{b}$ 的方向与 $x$ 轴、$y$ 轴或 $z$ 轴重合,此时 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 不垂直。因此,$b_2$ 和 $b_3$ 都不为零,即:

$$

  b_2 \neq 0 \quad \text{且} \quad b_3 \neq 0

  $$

  将上式

$$

  \frac{a_2}{b_2} = -\frac{a_3}{b_3}

$$

  因此,向量 $\vec{a}$ 的方向与向量 $\vec{b}$ 的方向在 $xy$ 平上的投影分别为 $(-a_3, a_2)$ 和 $(b_3, -b_2)$,它们的比值为 $-\frac{a_3}{b_3}$。这明向量 $\vec{a}$ 的方向与向量 $\vec{b}$ 的方向在 $xy$ 平上的投影相互垂直。

结论

  向量垂直定理是向量运算中非常重要的一条定理,它描述了两个向量相互垂直的条件Mkb。向量垂直定理的公式推导过程表明,向量 $\vec{a}$ 的方向与向量 $\vec{b}$ 的方向在 $xy$ 平上的投影相互垂直。这个结论在计算何、、工程等领域有着广泛的应用。

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