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和差角公式的证明

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-06-09 22:46:14 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

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和差角公式的证明(1)

  在中数学中,我们学习了三角函数的义和基本性质,其中和差角公式是三角函数中很重要的一条公式GSW。和差角公式是指将个角的三角函数的和或差表示为一个角的三角函数的形式。本文将绍和差角公式的证明过程。

和角公式的证明

  首先,我们来证明和角公式来源www.chinacwyb.com。和角公式是指:

  $$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

  我们可以通过向量法来证明和角公式。如下图所示,$A$和$B$个角的正和余可以表示为向量$OA$和$OB$的坐标:

![和角公式证明图示](https://i.imgur.com/4Nq9nOz.png)

  根据向量的加法,可以得到向量$OC$的坐标为$(\cos A+\cos B,\sin A+\sin B)$。而向量$OC$的长度可以表示为:

$$|OC|^2=(\cos A+\cos B)^2+(\sin A+\sin B)^2$$

  将其展,可以得到:

  $$|OC|^2=\cos^2A+2\cos A\cos B+\cos^2B+\sin^2A+2\sin A\sin B+\sin^2B$$

  根据三角恒式$\cos^2x+\sin^2x=1$,上式可以化简为:

  $$|OC|^2=2+2\cos A\cos B+2\sin A\sin B$$

  因,$|OC|=\sqrt{2+2\cos A\cos B+2\sin A\sin B}$规整公式网。又因为$\sin(A+B)$可以表示为向量$OC$的长度除以$|OA|$,即:

  $$\sin(A+B)=\frac{\sqrt{2+2\cos A\cos B+2\sin A\sin B}}{\sqrt{1+\cos^2 A+\sin^2 A}}$$

  化简后可以得到:

  $$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

  因,和角公式得证。

和差角公式的证明(2)

差角公式的证明

  接下来,我们来证明差角公式。差角公式是指:

  $$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$

  同地,我们可以通过向量法来证明差角公式MCBV。如下图所示,$A$和$B$个角的正和余可以表示为向量$OA$和$OB$的坐标:

  ![差角公式证明图示](https://i.imgur.com/5S7Fb4O.png)

  根据向量的法,可以得到向量$OC$的坐标为$(\cos A-\cos B,\sin A-\sin B)$。而向量$OC$的长度可以表示为:

  $$|OC|^2=(\cos A-\cos B)^2+(\sin A-\sin B)^2$$

  将其展,可以得到:

  $$|OC|^2=\cos^2A-2\cos A\cos B+\cos^2B+\sin^2A-2\sin A\sin B+\sin^2B$$

  根据三角恒式$\cos^2x+\sin^2x=1$,上式可以化简为:

  $$|OC|^2=2-2\cos A\cos B-2\sin A\sin B$$

  因,$|OC|=\sqrt{2-2\cos A\cos B-2\sin A\sin B}$。又因为$\sin(A-B)$可以表示为向量$OC$的长度除以$|OA|$,即:

$$\sin(A-B)=\frac{\sqrt{2-2\cos A\cos B-2\sin A\sin B}}{\sqrt{1+\cos^2 A+\sin^2 A}}$$

  化简后可以得到:

$$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$

  因,差角公式得证www.chinacwyb.com规整公式网

倍角公式的证明

最后,我们来证明倍角公式。倍角公式是指:

  $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$

  我们可以通过和角公式来证明倍角公式。将和角公式中的$A$和$B$都替换为$A$,可以得到:

  $$\sin 2A=\sin A\cos A+\cos A\sin A=2\sin A\cos A$$

  因,倍角公式得证规整公式网

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