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正弦二倍角公式证明

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-06-11 10:40:39 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

  在三角函数,正弦函数是一个非常重要函数,它在数学有着广泛应用otIg。正弦函数二倍角公式是指,当角度为2θ时,正弦函数值可以表示为关于θ多项式。本文将证明正弦二倍角公式正确性规整公式网www.chinacwyb.com

正弦二倍角公式证明(1)

正弦函数

在直角三角形,正弦函数如下:

  $$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

  ,θ为角度,对边为θ对边,斜边为直角三角形斜边。

正弦二倍角公式证明(2)

正弦函数周期性

  正弦函数具有周期性,即对于任意实数x,有:

  $$\sin(x+2\pi) = \sin x$$

  这是因为,正弦函数值在每个周期内都是chinacwyb.com

正弦二倍角公式证明(3)

证明正弦二倍角公式

  我们先来证明一个引理:

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

  这个引理可以通过勾定理得到。根据三角函数,有:

$$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

$$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

  $$\cos^2\theta + \sin^2\theta = \left(\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\right)^2 + \left(\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\right)^2 = 1$$

  接下来,我们来证明正弦二倍角公式:

  $$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

  根据三角函数,有:

  $$\sin 2\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{2\text{对边}}{2\text{斜边}}$$

  我们可以将一个角度为θ直角三角形分成两个角度为θ/2直角三角形,如下图所示:

  ![正弦二倍角公式证明](https://i.imgur.com/7J8vCqT.png)

根据勾定理,我们可以得到:

$$\text{斜边} = 2\text{对边}\cos\frac{\theta}{2}$$

  因

  $$\sin 2\theta = \frac{2\text{对边}}{2\text{斜边}} = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\cdot\frac{2}{1} = \sin\theta\cdot 2\cos\frac{\theta}{2}$$

我们还需要证明:

$$\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$$

  这个证明可以通过平方等式来得到:

  $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$$

$$\sin 2\theta = \sin\theta\cdot 2\cos\frac{\theta}{2} = \sin\theta\cdot 2\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$$

  这就是正弦二倍角公式规整公式网

总结

本文证明了正弦二倍角公式正确性。正弦函数在数学有着广泛应用,正弦二倍角公式是重要性质之一www.chinacwyb.com握正弦二倍角公式对于理三角函数性质和应用非常有帮助。

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