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探究角平分线长度定理公式

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-07-10 12:21:39 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

  角平分线是初中数学中常见概念,它是指将一个角分成两个相等线段,也称为角平分线来源www.chinacwyb.com。角平分线有很多重要和应用,其中一个重要就是角平分线长度定理。本文将探究角平分线长度定理公式推导和应用。

探究角平分线长度定理公式(1)

一、角平分线长度定理

  角平分线长度定理是指:在一个三角形中,如果一条线段从一个角点出发,平分这个角,同时与对边相交,那么这条线段所在直线段长度等于另外两条边长度之。即:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

  其中,BD表示角A平分线段,AB和AC分别表示与角A相邻两条边规整公式网www.chinacwyb.com

二、角平分线长度定理公式推导

  为了推导角平分线长度定理公式,我们可以利用相似三角形。如下图所示,我们可以通过相似三角形关系来推导出角平分线长度定理公式。

  

如图所示,我们可以通过相似三角形关系来推导出角平分线长度定理公式。首先,我们可以得以下两个相似三角形:

  △ABD∽△ACD

  根据相似三角形,我们可以得

$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$

又因为角A平分线段BD平分角A,所以∠ABD=∠CBD,因此△ABD∽△CBD,同样根据相似三角形,我们可以得

  $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$

  将上面两个等式联起来,可以得

  $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

  这就是角平分线长度定理公式推导过程XPT

探究角平分线长度定理公式(2)

三、角平分线长度定理公式应用

  角平分线长度定理公式在初中数学中有很多应用,下面列举几个常见子。

  1. 求角平分线长度

  如果在一个三角形中,已知两条边长度和夹角大小,求角平分线段长度,可以直接套用角平分线长度定理公式。

  如,在△ABC中,AB=5,AC=7,∠BAC=60°,求BD长度。

  根据角平分线长度定理公式,可以得

  $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

  $\frac{BD}{BD+DC}=\frac{5}{7}$

$7BD=5BD+5DC$

$2BD=5DC$

$BD=\frac{5}{2}DC$

又因为∠ABD=∠CBD,所以△ABD∽△CBD,因此可以得

$\frac{BD}{AB}=\frac{BC}{BD}$

  $\frac{BD^2}{5}=\frac{7BD}{2}$

  $BD=\frac{5\sqrt{7}}{7}$

  因此,BD长度为$\frac{5\sqrt{7}}{7}$规 整 公 式 网

  2. 判断角平分线置关系

在一个三角形中,如果一条线段从一个角点出发,平分这个角,同时与对边相交,那么这条线段所在直线段长度等于另外两条边长度之于这个性,我们可以判断角平分线置关系。

  如,在△ABC中,BD是角A平分线段,如果BD>AC,那么∠BAC是锐角;如果BD=AC,那么∠BAC是直角;如果BD

3. 求三角形面积

  如果在一个三角形中,已知两条边长度和夹角大小,可以利用正弦定理求出第三条边长度,然后利用海龙公式求出三角形面积规~整~公~式~网。但是,如果已知角平分线段长度,可以直接利用角平分线长度定理公式求出三角形面积。

  如,在△ABC中,AB=5,AC=7,BD是角A平分线段,求△ABC面积。

  根据角平分线长度定理公式,可以得

  $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

$\frac{BD}{BD+DC}=\frac{5}{7}$

  $7BD=5BD+5DC$

  $2BD=5DC$

  $BD=\frac{5\sqrt{7}}{7}$

又因为∠ABD=∠CBD,所以△ABD∽△CBD,因此可以得

$\frac{BD}{AB}=\frac{BC}{BD}$

$\frac{BD^2}{5}=\frac{7BD}{2}$

$BD=\frac{5\sqrt{7}}{7}$

  利用海龙公式可以得

$S=\sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BD)}$

  其中,s表示半周长,可以计算得

  $s=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}(5+7+\frac{10\sqrt{7}}{7})=\frac{31+10\sqrt{7}}{7}$

  因此,可以得

  $S=\sqrt{\frac{31+10\sqrt{7}}{7}\cdot\frac{31-10\sqrt{7}}{7}\cdot\frac{5\sqrt{7}}{7}\cdot\frac{5\sqrt{7}}{7}}=\frac{25}{4}$

  因此,△ABC面积为$\frac{25}{4}$。

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