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正弦定理公式推导证明

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-05-14 10:24:04 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

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正弦定理公式推导证明(1)

  正弦定理是初中数学中的重要定理之,它可以用来求解三角形中的各种角度和边规 整 公 式 网。下面我们来推导证明下正弦定理的公式来自www.chinacwyb.com

  首,我们来下三角形ABC,如下图示:

  假设三角形ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,∠A=α,∠B=β,∠C=γ欢迎www.chinacwyb.com

  我们三角形ABC中,做条高BD,如下图示:

  

根据三角形的性质,我们可以得到:

  sin α = BD/AC

sin β = BD/AB

  因为三角形ABC中,∠BDC=90°,以三角形BDC是直角三角形,可以使用勾股定理求解:

BC² = BD² + CD²

代入CD=AC-BD,可以得到:

BC² = BD² + (AC-BD)²

  展开后整理得到:

  BC² = BD² + AC² - 2AC·BD + BD²

化简后得到:

  2BD² = BC² + AC² - AB²

  将BD用sin α和sin β表示,得到:

  2(sin α)² = a² + b² - 2ab·cos γ

2(sin β)² = a² + c² - 2ac·cos γ

  将cos γ用sin α和sin β表示,得到:

cos γ = (b² + c² - a²)/(2bc)

将cos γ代入上式,得到:

  2(sin α)² = a² + b² - 2ab·(b² + c² - a²)/(2bc)

  2(sin β)² = a² + c² - 2ac·(b² + c² - a²)/(2bc)

正弦定理公式推导证明(2)

整理后得到:

  2b²c²(sin α)² = a²b²c² + b⁴c² + b²c⁴ - a²b⁴ - a²c⁴ - 2a²b²c² + 2a⁴c² + 2a²b²c² - 2a²c⁴

  2a²c²(sin β)² = a²b²c² + a⁴c² + a²c⁴ - a⁴b - b⁴c - 2a²b²c² + 2b²c⁴ + 2a²b²c² - 2b⁴c

化简后得到:

b²(sin α)² = c²(sin β)²

  

sin α/sin β = c/b

  这就是正弦定理的公式来源www.chinacwyb.com。我们可以发现,正弦定理的公式实际上是描述三角形中两个角的正弦值之间的chinacwyb.com

  综上述,我们通过勾股定理和三角函数的性质,推导证明了正弦定理的公式chinacwyb.com。正弦定理是初中数学中的重要定理之,它可以帮助我们求解三角形中的各种角度和边,是数学学习中可或缺的部分原文www.chinacwyb.com

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