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抛物线焦点弦长公式的推导与应用

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-05-16 09:48:31 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

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抛物线焦点弦长公式的推导与应用(1)

  抛物线是高中数学中常见的曲线之一,它具有很多重要的性应用规整公式网www.chinacwyb.com。其中,抛物线焦点弦长公式是抛物线的一个重要性,本文将对其进行详细的推导应用

一、抛物线焦点弦长公式的推导

抛物线的标准方程为:$y=ax^2+bx+c$,其中$a\neq0$。抛物线的焦点为$F(p,q)$,则有以下几个性

  (1)抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$;

  (2)焦点到对称轴的距离为$\frac{1}{4a}$;

(3)焦点到抛物线上任意点的距离等该点到对称轴的距离规整公式网www.chinacwyb.com

  根据这些性,我们可以推导出抛物线焦点弦长公式。

  假抛物线上有两点$A(x_1,y_1)$$B(x_2,y_2)$,则它们与焦点$F(p,q)$的距离分别为:

$$

AF=\sqrt{(x_1-p)^2+(y_1-q)^2}

  $$

  $$

  BF=\sqrt{(x_2-p)^2+(y_2-q)^2}

$$

  根据性(3),$AF$$BF$分别等$A$$B$到对称轴的距离,即:

$$

  AF=\frac{|ax_1^2+bx_1+c-q|}{\sqrt{a^2+1}}

$$

  $$

  BF=\frac{|ax_2^2+bx_2+c-q|}{\sqrt{a^2+1}}

  $$

  $M$为$AB$的中点,坐标为$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$,则有:

  $$

FM=\sqrt{(p-\frac{x_1+x_2}{2})^2+(q-\frac{y_1+y_2}{2})^2}

  $$

根据性(2),$FM=\frac{1}{4a}$。

根据勾定理,$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$来源www.chinacwyb.com

现在我们来推导抛物线焦点弦长公式。根据余弦定理,有:

  $$

  \cos\angle AMF=\frac{AF^2+FM^2-AF^2}{2\cdot FM\cdot AB}

  $$

  $$

  \cos\angle BMF=\frac{BF^2+FM^2-BF^2}{2\cdot FM\cdot AB}

  $$

  将$AF$$BF$的表达式代入上式,化简得:

$$

  \cos\angle AMF=\frac{(ax_1^2+bx_1+c-q)^2+(16a^2(x_1+x_2)^2+16a(x_1+x_2)(q-y_1)+16(y_1-q)^2)(x_2-x_1)^2}{8a^3(x_2-x_1)^3+4a(x_2-x_1)(q-y_1)^2}

  $$

  $$

  \cos\angle BMF=\frac{(ax_2^2+bx_2+c-q)^2+(16a^2(x_1+x_2)^2+16a(x_1+x_2)(q-y_2)+16(y_2-q)^2)(x_2-x_1)^2}{8a^3(x_2-x_1)^3+4a(x_2-x_1)(q-y_2)^2}

$$

  由$\angle AMF+\angle BMF=\pi$,因此有:

  $$

  \cos\angle AMF=-\cos\angle BMF

$$

抛物线焦点弦长公式的推导与应用(1)

将上面两个式子相等化,整理得到:

  $$

  (ax_1^2+bx_1+c-q)^2+(16a^2(x_1+x_2)^2+16a(x_1+x_2)(q-y_1)+16(y_1-q)^2)(x_2-x_1)^2=(ax_2^2+bx_2+c-q)^2+(16a^2(x_1+x_2)^2+16a(x_1+x_2)(q-y_2)+16(y_2-q)^2)(x_2-x_1)^2

  $$

化简后得到:

$$

  x_1^2+x_2^2-2px_1-2px_2+p^2+\frac{(y_1-q)^2}{a^2}+\frac{(y_2-q)^2}{a^2}-\frac{2y_1+2y_2-2qa}{a}=0

  $$

这是一个关$x_1$$x_2$的二方程,解得:

$$

  x_1+x_2=\frac{2p}{a}

  $$

将$x_1+x_2$代入$AB$的表达式中,得到:

  $$

  AB=\frac{2}{|a|}\sqrt{(p-x_1)(p-x_2)}

  $$

  将$AB$$FM$代入余弦定理中,得到:

$$

  \cos\angle AMF=\frac{\sqrt{(p-x_1)(p-x_2)}}{2|a|\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}

  $$

  由$\angle AMF$是锐角,因此有:

  $$

  \sin\angle AMF=\sqrt{1-\cos^2\angle AMF}=\frac{|y_2-y_1|}{2|a|\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}

$$

  最后,根据正弦定理,得到抛物线焦点弦长公式:

  $$

  AB=2|AF|\sin\angle AMF=\frac{|y_2-y_1|}{|a|}

$$

二、抛物线焦点弦长公式的应用

  抛物线焦点弦长公式在物理、工程、建筑等领域有广泛的应用。下面介绍其中的几个例子chinacwyb.com

  1. 抛物线反射器

  抛物线反射器是利用抛物线的反射性制作的一种光学器件,可以将光线聚焦到一个点上。抛物线焦点弦长公式可以用来计算抛物线反射器的焦距口径,从而确定其聚焦能力光通量。

  2. 抛物线拱桥

  抛物线拱桥是一种特殊的桥梁结构,其拱形部分是一抛物线来源www.chinacwyb.com。抛物线焦点弦长公式可以用来计算拱桥的横向力弯矩,从而确定其结构的定性承载能力。

3. 抛物线喷泉

  抛物线喷泉是一种利用抛物线的形状流体力学原理制作的喷泉。抛物线焦点弦长公式可以用来计算喷泉的喷射高喷射速,从而确定其喷射水流量原文www.chinacwyb.com

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