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向量运算公式总结

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-05-14 23:18:19 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

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向量运算公式总结(1)

向量运算是线性代数中的重内容,它涉及到向量的加法、减法、数乘、点积、叉积等种运算www.chinacwyb.com规整公式网。本文将对这运算进行总结,并给出相公式

1. 向量加法

  向量加法是指将两个向量按照相同置的元相加得到一个新的向量原文www.chinacwyb.com。向量加法的公式如下:

$$

  \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}

  $$

例如,向量 $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和向量 $\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的和为:

  $$

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}

  $$

向量运算公式总结(2)

2. 向量减法

  向量减法是指将两个向量按照相同置的元相减得到一个新的向量。向量减法的公式如下:

  $$

  \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ \vdots \\ a_n - b_n \end{pmatrix}

  $$

  例如,向量 $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和向量 $\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的差为:

  $$

  \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}

  $$

3. 向量数乘

  向量数乘是指将一个向量的每个元乘以一个标量得到一个新的向量gOlb。向量数乘的公式如下:

$$

  k\vec{a} = k\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ \vdots \\ ka_n \end{pmatrix}

$$

  其中,$k$ 为标量。例如,向量 $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 乘以标量 $2$ 的结果为:

  $$

  2\vec{a} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

  $$

向量运算公式总结(3)

4. 向量点积

  向量点积是指将两个向量对置的元相乘,然后将乘积相加得到一个标量规+整+公+式+网。向量点积的公式如下:

  $$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

  $$

例如,向量 $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和向量 $\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 的点积为:

$$

  \vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times3 + 2\times4 = 11

$$

  向量点积一种几何意义,两个向量夹的余弦值。设向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夹为 $\theta$,则

  $$

  \cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left\|\vec{a}\right\|\left\|\vec{b}\right\|}

  $$

  其中,$\left\|\vec{a}\right\|$ 和 $\left\|\vec{b}\right\|$ 分别表示向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长规 整 公 式 网

5. 向量叉积

  向量叉积只适用于三维向量,它是指将两个向量进行叉积运算得到一个新的向量。向量叉积的公式如下:

  $$

  \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}

  $$

  例如,向量 $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 和向量 $\vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ 的叉积为:

  $$

  \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\times6 - 3\times5 \\ 3\times4 - 1\times6 \\ 1\times5 - 2\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}

  $$

  向量叉积的几何意义是,结果向量的模长等于两个向量所在平面的面积,方向垂直于这个平面欢迎www.chinacwyb.com

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