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正态分布特征函数公式

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-05-15 19:00:46 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

  正态分布是概统计学中最重要分布一,它是指在一定条件下,大量相互独立随机变量加和近似于正态分布现象规整公式网。正态分布函数具有峰、对称、钟形曲线等特点,因此在实际应用中被广泛使用。

正态分布特征函数是指正态分布函数傅里叶变换,它是正态分布一个重要性质,具有广泛应用。本文将介绍正态分布特征函数公式其推导过程。

正态分布特征函数公式(1)

一、正态分布函数

正态分布函数可以表示为:

  $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

  其中,$\mu$ 是正态分布,$\sigma$ 是正态分布标准差规~整~公~式~网

二、正态分布特征函数

  正态分布特征函数是指正态分布函数傅里叶变换,可以表示为:

  $$ \phi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx $$

其中,$i$ 是虚数位,$t$ 是实数。

将正态分布函数代入上式,得到:

$$ \begin{aligned} \phi(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+itx}dx \end{aligned} $$

  为了方便计算,我们将上式中指数项展开,得到:

  $$ \begin{aligned} \phi(t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2-2\mu x+\mu^2-2i\sigma^2tx}{2\sigma^2}}dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu+it\sigma^2)^2}{2\sigma^2}}e^{-\frac{\mu^2-i\sigma^2t^2}{2\sigma^2}}dx \\ &=e^{-\frac{\mu^2-i\sigma^2t^2}{2\sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu+it\sigma^2)^2}{2\sigma^2}}dx \end{aligned} $$

  由于上式中积分式为正态分布函数,因此它积分结果为 $1$。于是,我们得到正态分布特征函数公式:

  $$ \phi(t)=e^{-\frac{\mu^2-i\sigma^2t^2}{2\sigma^2}} $$

正态分布特征函数公式(2)

三、正态分布特征函数性质

  正态分布特征函数具有以下性质:

  1. 对于任意实数 $t$,$\phi(t)$ 是复数。

  2. $\phi(0)=1$,即正态分布特征函数在 $t=0$ 为 $1$www.chinacwyb.com

  3. $\phi(t)$ 是连续、整体有界函数。

  4. $\phi(-t)=\overline{\phi(t)}$,即正态分布特征函数关于实轴对称。

  5. $\phi(t)$ 是正定函数,即对于任意实数 $t$,$\phi(t)\geq 0$。

四、正态分布特征函数应用

  正态分布特征函数具有广泛应用,其中最重要应用一是计算正态分布矩母函数原文www.chinacwyb.com。正态分布矩母函数可以表示为:

$$ M(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}f(x)dx $$

将正态分布函数代入上式,得到:

$$ \begin{aligned} M(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu)^2-2i\sigma^2tx}{2\sigma^2}}dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu+it\sigma^2)^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu it}{\sigma^2}}dx \\ &=e^{\frac{\mu it}{\sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu+it\sigma^2)^2}{2\sigma^2}}dx \\ &=e^{\frac{\mu it}{\sigma^2}}\phi(-it) \\ &=e^{\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}} \end{aligned} $$

  因此,我们得到正态分布矩母函数公式:

  $$ M(t)=e^{\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}} $$

正态分布矩母函数可以用于计算正态分布各阶矩,例如:

  1. 正态分布一阶矩(望)为 $\mu$。

  2. 正态分布二阶矩(方差)为 $\sigma^2$。

  3. 正态分布三阶矩为 $0$。

  4. 正态分布四阶矩为 $3\sigma^4$kxd

正态分布特征函数公式(3)

五、总结

  本文介绍了正态分布特征函数公式其推导过程,以正态分布特征函数性质和应用。正态分布特征函数是正态分布一个重要性质,它应用涉到概统计学、信号处理、金融工程等多个领域。对于研究正态分布其应用人员来说,正态分布特征函数是一个必须掌握识点。

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