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从勾股定理到三角形面积公式的推导

来源:www.chinacwyb.com 时间:2024-05-08 01:39:16 作者:规整公式网 浏览: [手机版]

  在初中数学中,我们学习了勾股定理,即角三角形的斜边方等于两角边方和www.chinacwyb.com规整公式网。而在进一步学习三角形时,我们也学习了三角形的面积公式,即面积等于底边乘以高除以二。么,这两者之间否存在系呢?下面,我们来从勾股定理推导三角形面积公式。

  首先,我们来看一个三角形ABC(如下图所),其中BC为角边,AC为斜边,AB为另一条角边原文www.chinacwyb.com角边BC的长度为a,角边AB的长度为b,斜边AC的长度为c,高线AD的长度为h。

  ![image](https://i.imgur.com/9j9XHl9.png)

勾股定理可知,$c^2=a^2+b^2$。

我们将三角形ABC成两个角三角形ABD和BCD,如下图所www.chinacwyb.com

  ![image](https://i.imgur.com/3q3r1i6.png)

从勾股定理到三角形面积公式的推导(1)

  由于角三角形ABD和BCD的高线相等,即AD=CD=h,而它们的底边别为b和a,因此它们的面积别为$\frac{1}{2}bh$和$\frac{1}{2}ah$。将它们的面积相加,得到三角形ABC的面积:

  $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bh+\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}(a+b)h$

  接下来,我们将勾股定理中的$c^2=a^2+b^2$代入上式,得到:

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{c^2-a^2}$

  这就三角形面积公式。

  通过上述推导过程,我们可以发现,三角形面积公式的推导与勾股定理有着切的规.整.公.式.网。利用勾股定理可以求出三角形的高,从而得到三角形的面积。这也为什么在初中数学中,我们要先学习勾股定理,再学习三角形面积公式的原因。

除此之外,我们还可以从另一个角度来理解三角形面积公式的推导规.整.公.式.网。我们可以将三角形ABC旋转180度,使得它与原来的三角形ABC重合,如下图所

![image](https://i.imgur.com/1L8bI1M.png)

  这样,我们就得到了一个边形ABCD,其中AB=CD=a,AD=BC=b,高线EF=h。由于边形的面积等于底边乘以高,因此边形ABCD的面积为ahwww.chinacwyb.com规整公式网。而三角形ABC的面积等于边形ABCD的一半,因此三角形ABC的面积也为$\frac{1}{2}ah$。

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